Log regels | logaritme regels (2024)

De logaritme met grondtal b van een getal is de exponent die we nodig hebben om de basis te verhogen om het getal te krijgen.

• Logaritme definitie
• Logaritme regels
• Logaritme problemen
• Complexe logaritme
• Grafiek van logboek (x)
• Logaritme-tabel
• Logaritme rekenmachine

Logaritme definitie

Wanneer b wordt verheven tot de macht van y is gelijk aan x:

b ^y = x

Dan is de logaritme met grondtal b van x gelijk aan y:

logboek _b ( x ) = y

Bijvoorbeeld wanneer:

2 ⁴ = 16

Dan

logboek ₂ (16) = 4

Logaritme als inverse functie van exponentiële functie

De logaritmische functie,

y = logboek _b ( x )

is de inverse functie van de exponentiële functie,

x = b ^y

Dus als we de exponentiële functie van de logaritme van x (x/ 0) berekenen,

f ( f ^-1 ( x )) = b ^logboek b ^{( x )} = x

Of als we de logaritme van de exponentiële functie van x berekenen,

f ^-1 ( f ( x )) = logboek _b ( b ^X ) = x

Natuurlijke logaritme (ln)

Natuurlijke logaritme is een logaritme met de grondtal e:

ln ( x ) = logboek _e ( x )

Als de constante het getal is:

of

Zie: Natuurlijke logaritme

Inverse logaritme-berekening

De inverse logaritme (of anti-logaritme) wordt berekend door het grondtal b te verhogen tot de logaritme y:

x = logboek ^-1 ( y ) = b ^y

Logaritmische functie

De logaritmische functie heeft de basisvorm van:

f ( x ) = logboek _b ( x )

Logaritme regels

Regelnaam	Regel
Logaritme-productregel	logboek b ( x ∙ y ) = logboek b ( x ) + logboek b ( y )
Logaritme-quotiëntregel	logboek b ( x / y ) = logboek b ( x ) - logboek b ( y )
Logaritme machtsregel	logboek b ( x y ) = y ∙ logboek b ( x )
Logaritme basisswitch regel	logboek b ( c ) = 1 / logboek c ( b )
Logaritme basis wijzigingsregel	logboek b ( x ) = logboek c ( x ) / logboek c ( b )
Afgeleide van logaritme	f ( x ) = logboek b ( x ) ⇒ f ' ( x ) = 1 / ( x ln ( b ))
Integraal van logaritme	∫ logboek b ( x ) dx = x ∙ (logboek b ( x ) - 1 / ln ( b ) ) + C
Logaritme van negatief getal	log b ( x ) is niet gedefinieerd als x ≤ 0
Logaritme van 0	log b (0) is niet gedefinieerd
Logaritme van 1	logboek b (1) = 0
Logaritme van de basis	logboek b ( b ) = 1
Logaritme van oneindigheid	lim log b ( x ) = ∞, wanneer x → ∞

Zie: Logaritme-regels

Logaritme-productregel

De logaritme van de vermenigvuldiging van x en y is de som van logaritme van x en logaritme van y.

logboek _b ( x ∙ y ) = logboek _b ( x ) + logboek _b ( y )

Bijvoorbeeld:

logboek ₁₀ (3 ∙ 7) = logboek ₁₀ (3) + logboek ₁₀ (7)

Logaritme-quotiëntregel

De logaritme van de deling van x en y is het verschil van logaritme van x en logaritme van y.

logboek _b ( x / y ) = logboek _b ( x ) - logboek _b ( y )

Bijvoorbeeld:

log ₁₀ (3 / 7) = log ₁₀ (3) - log ₁₀ (7)

Logaritme machtsregel

De logaritme van x verheven tot de macht van y is y maal de logaritme van x.

logboek _b ( x ^y ) = y ∙ logboek _b ( x )

Bijvoorbeeld:

logboek ₁₀ (2 ⁸ ) = 8 ∙ logboek ₁₀ (2)

Logaritme basisswitch regel

De logaritme met grondtal b van c is 1 gedeeld door de logaritme met grondtal c van b.

logboek _b ( c ) = 1 / logboek _c ( b )

Bijvoorbeeld:

logboek ₂ (8) = 1 / logboek ₈ (2)

Logaritme basis wijzigingsregel

De logaritme met grondtal b van x is de logaritme met grondtal c van x gedeeld door de logaritme met grondtal c van b.

logboek _b ( x ) = logboek _c ( x ) / logboek _c ( b )

Om bijvoorbeeld log ₂ (8) in de rekenmachine te berekenen, moeten we de basis wijzigen in 10:

logboek ₂ (8) = logboek ₁₀ (8) / logboek ₁₀ (2)

Zie: wijzigingsregel logboekbasis

Logaritme van negatief getal

De reële logaritme met grondtal b van x als x <= 0 niet gedefinieerd is als x negatief is of gelijk aan nul:

log _b ( x ) is niet gedefinieerd als x ≤ 0

Zie: logboek met negatief getal

Logaritme van 0

De logaritme met grondtal b van nul is niet gedefinieerd:

log _b (0) is niet gedefinieerd

De limiet van de logaritme met grondtal b van x, wanneer x nul nadert, is min oneindig:

Zie: log van nul

Logaritme van 1

De logaritme met grondtal b van één is nul:

logboek _b (1) = 0

De logaritme met grondtal twee van één is bijvoorbeeld nul:

logboek ₂ (1) = 0

Zie: logboek van één

Logaritme van oneindigheid

De limiet van de logaritme met grondtal b van x, wanneer x oneindig nadert, is gelijk aan oneindig:

lim log _b ( x ) = ∞, wanneer x → ∞

Zie: logboek van oneindigheid

Logaritme van de basis

De logaritme met grondtal b van b is één:

logboek _b ( b ) = 1

De logaritme met grondtal twee van twee is bijvoorbeeld één:

logboek ₂ (2) = 1

Logaritme afgeleide

Wanneer

f ( x ) = logboek _b ( x )

Dan is de afgeleide van f (x):

f ' ( x ) = 1 / ( x ln ( b ))

Zie: log-afgeleide

Logaritme integraal

De integraal van logaritme van x:

∫ logboek _b ( x ) dx = x ∙ (logboek _b ( x ) - 1 / ln ( b ) ) + C

Bijvoorbeeld:

∫ logboek ₂ ( x ) dx = x ∙ (logboek ₂ ( x ) - 1 / ln (2) ) + C

Logaritme benadering

logboek ₂ ( x ) ≈ n + ( x / 2 ⁿ - 1),

Complexe logaritme

Voor complex getal z:

z = re ^iθ = x + iy

De complexe logaritme is (n = ...- 2, -1,0,1,2, ...):

Log z = ln ( r ) + i ( θ + 2nπ ) = ln (√ ( x ² + Y ² )) + i · arctan ( y / x ))

Logaritmische problemen en antwoorden

Probleem # 1

Zoek x voor

logboek ₂ ( x ) + logboek ₂ ( x -3) = 2

Oplossing:

Met behulp van de productregel:

logboek ₂ ( x ∙ ( x -3)) = 2

Het logaritme-formulier wijzigen volgens de logaritme-definitie:

x ∙ ( x -3) = 2 ²

Of

x ² -3 x -4 = 0

De kwadratische vergelijking oplossen:

x _1,2 = [3 ± √ (9 + 16)] / 2 = [3 ± 5] / 2 = 4, -1

Omdat de logaritme niet is gedefinieerd voor negatieve getallen, is het antwoord:

x = 4

Probleem # 2

Zoek x voor

logboek ₃ ( x +2) - logboek ₃ ( x ) = 2

Oplossing:

Met behulp van de quotiëntregel:

logboek ₃ (( x +2) / x ) = 2

Het logaritme-formulier wijzigen volgens de logaritme-definitie:

( x +2) / x = 3 ²

Of

x +2 = 9 x

Of

8 x = 2

Of

x = 0,25

Grafiek van logboek (x)

log (x) is niet gedefinieerd voor echte niet-positieve waarden van x:

Logaritmes-tabel

Logaritme-calculator ►

Zie ook

• Logaritme regels
• Logaritme verandering van basis
• Logaritme van nul
• Logaritme van één
• Logaritme van oneindigheid
• Logaritme van negatief getal
• Logaritme rekenmachine
• Logaritme-grafiek
• Logaritme-tabel
• Natuurlijke logaritme-calculator
• Natuurlijke logaritme - ln x
• e constante
• Decibel (dB)